数列（1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, …）
これをn番目数を P_n とm_kおいて以下の式。nは自然数。

P_1 = 1 , P_2 = 2 ,
P_n = 2P_{n-1} + P_{n-2} (n >= 3)

m_k = (1/(2√2)) ((1+√2)^k - (1-√2)^k)
k = 1,2,3,…

この２つの式が等しいこと（P_n=m_k）を示したいのですが、どうやって示したらいいですかね

帰納法を使うのかと思い、P_nの式は連分数展開の漸化式を参考にして帰納的に示せたのですが、
m_kを数学的帰納法で示そうとしたらよく分からなくなってしまいました。