集合Xの元の間の関係〜が次の(1)-(3)をみたすとき、〜を同値関係という。
(1) ∀a∈X, a〜a
(2) ∀a,b∈X, a〜b ⇒ b〜a
(3) ∀a,b,c∈X, a〜b, b〜c ⇒ a〜c

Xの部分集合[x]を、[x]:={a∈X|a〜x}で定める。
このとき、x〜y⇔[x]=[y]を示せという問題なのですが、以下の解答であっていますか？


x〜yと仮定する。
a∈[x]を任意にとる。このとき、a〜xである。
仮定よりx〜yであり、またa〜xであるから、条件(3)よりa〜yである。
よって、a∈[y]であり、aのとり方は任意だったから、[x]⊂[y]である。
次に、b∈[y]を任意にとる。このとき、b〜yであるから、条件(2)よりy〜bである。
仮定よりx〜yであり、またy〜bであるから、条件(3)よりx〜bである。
条件(2)よりb〜xであるから、b∈[x]であり、bのとり方は任意だったから、[y]⊂[x]である。
以上より、[x]⊂[y]かつ[y]⊂[x]なので、[x]=[y]である。

[x]=[y]と仮定する。
a∈[x]を任意にとる。このとき、a〜xであり、条件(2)よりx〜aである。
仮定よりa∈[y]であるから、a〜yであり、またx〜aであるから、条件(3)より、x〜yである。　（証明終了）