(1+1/1)^1=2
(1+1/2)^2=1+2*1*(1/2)+(1/2)^2=2.25
(1+1/3)^3=1+3*1^2*(1/3)+3*1*(1/3)^2+(1/3)^3=64/27=2+(10/27)
...
(1+1/k)^k=1 + k*1^(k-1)*(1/k) + (k(k-1)/2) * 1^(k-2) * (1/k)^2 + ....
と、少なくとも2より大きいのは明白

君が評価したのは、lim[n→∞](1+1/n)^n　ではなく、lim[m→∞]{lim[n→∞](1+1/n)^m}