>>453-478
みなさん、乙です！

>>442
>A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）で
>シローの定理>>416により、位数２の部分群が含まれ、位数２の部分群との組み合わせで、位数10の部分群があることがわかる（これが図形の中でどう見えるかまだ自分には見えていないが）

分かりました
”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）は、クラインの四元群ですね（下記）
http://hooktail.sub.jp/algebra/KleinQuaternion/
(抜粋)
具体的にはクラインの四元群は x,y,z各軸回りに180度回転させる回転操作の群として表現されます．
クラインの四元群の元 はどれも二乗すると になりますから位数は だと言えます．クラインの四元群は，巡回群ではない群としては最小のものです．
（引用おわり）

下記P2によれば、A4の部分群で（位数４）は、二つあるが巡回群でない方だから、{ e , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)}で、これはクラインの四元群そのもの。で、位数２の部分群は、{ e , (12)(34) }となる
http://www.math.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類