>>355
ちょっとややこしいですが、普通の置換積分でもできます。
それぞれの置き換えは高校でやる一般的なパターンのものですので、基本パターンを十分に復習しておきましょう。
∫ (1/√(x^2+2)) dx = ∫ (1/√(2 tan^2 θ + 2)) ((√2) / cos^2 θ) dθ (x = (√2)tanθ)
= ∫ (1/(√(tan^2 θ + 1)) (1 / cos^2 θ) dθ
= ∫ (1 / cosθ) dθ
= ∫ (cosθ / cos^2 θ) dθ
= ∫ (cosθ / (1 - sin^2 θ) dθ
= ∫ 1 / (1 - t^2) dt (t = sinθ)
= ∫ (1 / (1+t)(1-t)) dt
= (1/2) ∫ ((1 / (t-1)) - (1 / (t+1))) dt
= (1/2) (log|t-1| - log|t+1|) + C (C: 定数)
= (1/2) (log|(t-1) / (t+1)|) + C
…でいいはずです。

>>357さんの仰るように、双曲線関数を知っていればこのようにも書けるのですが、
高校の範囲で解こうとするとこれが一番普通の解き方だと思います。