>>125 の簡単な回答を思い付いた
| √2-p/q | < 1/q^3 と仮定
√2 = (p+ε)/q と置く
2q^2 = p^2+2pε+ε^2 より、2pε+ε^2 は整数
0でないことはわかるので、| 2pε+ε^2 | ≧ 1
ここでもし |ε|<1/(3p) なら、
| 2pε+ε^2 | < 2p |ε| +ε^2 < 2/3 + 1/9
で矛盾
よって |ε|≧1/(3p)
ところが仮定より |ε|<1/q^2
したがって q^2<3p (☆)
また、|ε|<1/q^2≦1であるから、q^2 = 2(p+ε)^2 > 2(p-1)^2 (☆☆)
以上 (☆) (☆☆) より 2(p-1)^2 < 3p
これをみたす自然数pは4以下
pごとに |ε| < 1/q^2 となるqを求めると、 (p,q) = (1,1), (2,1), (3,2)