>>125
p≦0のときは不等式が成立しないのでp≧1とする。
与式を変形し
　(pq^2-1)/q^3 < √2 < (pq^2+1)/q^3
左辺が0以上なので2乗し，分母を払う
　(pq^2-1)^2 < 2q^6 < (pq^2+1)^2
これをpについての連立不等式とみて
　q^4p^2-2q^2p+1-2q^6 < 0 かつ q^4p^2+2q^2p+1-2q^6 > 0
これを解き
　(-1+q^3 √2)/q^2 < p < (1+q^3 √2)/q^2 …★
ここで数値を代入し，q=1のとき p=1，2 と q=2のとき p=3 を得る
q=3のとき成立せず，q≧3では成立しなそうなので★を変形した式
　(-1/q^2)+q√2 < p < (1/q^2)+q√2
がq≧3において，M < q√2 < M+1 …☆である整数Mに対し，
　M < (-1/q^2)+q√2 < p < (1/q^2)+q√2 < M+1
つまり
　M < (-1/q^2)+q√2 …① かつ (1/q^2)+q√2 < M+1 …②
が成り立つことを示せばよい。
①は
　((-1/q^2)+q√2)^2 - M^2 = 2q^2-M^2 + 1/q^4 - 2√2/q
　☆より(整数なので) 2q^2-M^2≧1，q≧3より 1/q^4 - 2√2/q > 0 - 2√2/3 > -1
　よって成立
②は
　(M+1)^2 - ((1/q^2)+q√2)^2 = (M+1)^2-2q^2 - 2√2/q - 1/q^4
　☆より (M+1)^2-2q^2≧1，q≧3より - 2√2/q - 1/q^4 > - 2√2/3 - 1/81 > -1
　よって成立
したがってq≧3では解がないので(p，q)=(1，1)，(2，1)，(3，2)