>>125って本当に東工大の過去問？
数論の知識が必要そうな気がするが…

仮に、題意を満たす p、q の組があったとする。
　　f(x)=x²－2
とおく。 |x－√2|≦1 における |f'(x)| の最大値を C とすると、
　　C=|f'(√2+1)|=2√2+2
である。 平均値の定理により、
　　{f(√2)－f(p/q)}/(√2－p/q)=f'(β)　…　①
を満たす β が、√2 と p/q の間に存在する。
|√2－p/q|＜1/q³≦1 だから、|√2－β|＜1 である。
f(√2)=0 だから、① より、
　　|f(p/q)/(√2－p/q)|=|f'(β)|≦C
である。
f(x) は有理係数の範囲で既約多項式だから、f(p/q)≠0 である。
q²f(p/q)=p²－2q² は 0 でない整数だから、
　　q²|f(p/q)|≧1
　　|f(p/q)|≧1/q²
　　C≧|f(p/q)/(√2－p/q)|≧1/(q²|√2－p/q|)
である。
条件式と合わせ、
　　1/(Cq²)≦|√2－p/q|＜1/q³
　　q＜C=2√2+2=4.82…
だから、q=1,2,3,4 の何れかである。
　　|√2－p/q|＜1/q³
　　√2q－1/q²＜p＜√2q+1/q²
だから、q=1,2,3,4 を夫々この条件に当て嵌めて
　　(p,q)=(1,1)、(2,1)、(3,2)