私も赤チャートをやってまして、東工大類似問題ですね。
f(f(x))において外側のfの関数の範囲で考えると、1/4≦x＜1/2では、2f(x)-1となり、
内側のf(x)では2xとなります。
つまり2f(x)=2×2x-1=4x-1
説明が下手ですいません