>>968はｇｄｇｄだなｗ、やりなおし

p:=1/3,q:=1/4,A:=px,B:=qy,θ:=(α+β)/2,φ:=(α-β)/2,
u:=exp(√(-1)θ),v:=exp(√(-1)φ)とおくと u,v≠0
オイラーの公式使って、元の式は次と同値
(A+B)uv+(-A+B)(1/(uv))=2 …(あ)
(A+B)(u/v)+(-A+B)(v/u)=2 …(い)
(p^2+q^2)(u^2+1/(u^2))+(-p^2+q^2)(v^2+1/(v^2))=4 …(う)
(あ)-(い)から
(v^2-1)((A+B)u^2-(-A+B))=0

・case1: v^2-1=0
(u+1/u)^2=4(1+p^2)/(p^2+q^2), (u-1/u)^2=4(1-q^2)/(p^2+q^2),
A(u-1/u)+B(u+1/u)=4 から
±√(1/(q^2)-1)x±√(1/(p^2)+1)y=√(1/(p^2)+1/(q^2))
つまり、±√15x±√10y=5 （以上複号任意）

・case2: (A+B)u^2-(-A+B)=0
このとき A+B,A-B≠0 で、(あ),(い)から u^2=(-A+B)/(A+B), v+1/v=2u/(-A+B)
(う)から(q^2+1)A^2+(p^2-1)B^2=p^2-q^2 が得られ
(1+1/(q^2))x^2+(1-1/(p^2))y^2=-1/(p^2)+1/(q^2)、つまり 17x^2-8y^2=7

結局、答えは a=√15,b=√10,c=5 として
(ax+by+c)(-ax+by+c)(ax+by+c)(ax+by+c)(17x^2-8y^2-7)=0
…だと思う、疲れた、しかも何か>>955と違うｗ

元式の最初の2つの定数項が等しいおかげで、都合良く分解できた（でないとさらに面倒）
ちなみにA±B=0となる点はcase1の直線上にあって、case2のA±B=0となる点は、(あ),(い)を
A,Bについて解いて、(う)内でてきとーに極限を取ると得られる