> 次式からα、βを消して、xとyだけの式を作れ。
> 　(x・sinα)/3 + (y・cosα)/4 = 1
> 　(x・sinβ)/3 + (y・cosβ)/4 = 1
> 　(sinα・sinβ)/9 + (cosα・cosβ)/16 = 1

ネットで拾った問題なので、正解は知りませんが、

(sinα)/3 = a、 (cosα)/4 = b、 (sinβ)/3 = c、 (cosβ)/4 = d とおくと、問題の式と、sin^2+cos^2=1 から

① ax + by = 1
② cx + dy = 1
③ ac + bd = 1
④ 9a^2 + 16b^2 = 1
⑤ 9c^2 + 16d^2 = 1

①×d - ②×b、②×a - ①×c を計算してから記号を三角関数に戻して整理して、
ゴチャゴチャ計算して、17x^2 + 10y^2 = 25 を出しましたが、合ってるか自信がありませんぬ。
どなたか検証おながいします ( ﾟ∀ﾟ)

最後にスッキリした答えになったので、達成感はありました。
面白い問題というよりも、達成感を味わえる問題なのかなと…