>>955
変数は複素数でいいのかな？
p:=1/3, q:=1/4, r:=√((px)^2+(qy)^2)（≠0 はすぐわかる), (cos(t),sin(t)):=(1/r)*(qy,px),
θ:=(α+β)/2, φ:=(α-β)/2 とおくと、元の式は次と同値
cos((t-θ)cosφ=1/r
sin((t-θ)sinφ=0
(-p^2+q^2)(cosθ)^2+(p^2+q^2)(cosφ)^2=q^2+1

2つめの式を眺めて
・case sin((t-θ)=0
(1+1/(q^2))x^2+(1+1/(p^2))y^2-(1/(p^2)+1/(q^2))=0 つまり、10x^2+17y^2-25=0
・case sinφ=0
±√(1-1/(q^2))x±√(-(1-(1/(p^2)))y-√(1/(q^2)-1/(p^2))=0
つまり、±√15x±2√(-2)y-√7=0 複号任意（※実変数なら捨て）

結局答えは、a:=√15, b:=2√(-2), c:=√7 として
(10x^2+17y^2-25)(ax+by+c)(-ax+by+c)(ax-by+c)(ax+by-c)=0

めんどくさかった