>>69
＞「接線y = (3t^2+6t+1)x -2t^3-3t^2が点P(1,k)を通る」が成り立つ

元々、点P(1,k)を通る接線を考えていた。
これを
接点(t, f(t))をもつ接線が点P(1,k)を通る
と言い換えた。

接点(t, f(t))をもつ接線とは
y = (3t^2+6t+1)x -2t^3-3t^2
のことであった。

3本の接線の方程式は
y = (3t_1^2+6t_1+1)x -2t_1^3-3t_1^2
y = (3t_2^2+6t_2+1)x -2t_2^3-3t_2^2
y = (3t_3^2+6t_3+1)x -2t_3^3-3t_3^2

この3本全てが点P(1,k)を通るので
k = (3t_1^2+6t_1+1) -2t_1^3-3t_1^2
k = (3t_2^2+6t_2+1) -2t_2^3-3t_2^2
k = (3t_3^2+6t_3+1) -2t_3^3-3t_3^2
が成り立つ。
つまり
k=(3t^2+6t+1)-2t^3-3t^2　が異なる3つの実数解をもつ。