>>531
地道に解いてみます。
fを平方完成すると、
f(x) = (x+a/2)^2 - a^2/4 + (a^2 +3a+2) = (x+a/2)^2 + ((3/4)a^2 +3a+2) ≧ (3/4)a^2 +3a+2であるので、とりあえずx = -a/2で最小になります。
(3/4)a^2 +3a+2>0を解くとa < -2 - (2/3)√30, -2 + (2/3)√30 < a ... (1)であるので、aが(1)の範囲にあるときは何も考えなくても条件を満たします。
従って、考えるべきは-2 - (2/3)√30 ≦ a ≦ -2 + (2/3)√30の場合ですね。

5<√30<6なので、10/3<(2/3)√30<4であり、
-6 = -2 - 4 < -2 - (2/3)√30, -2 + (2/3)√30 < -2 + 4 < 2であるから、大体-6 < a < 2の範囲を見ればよいと分かります。
軸の位置に着目すると、-1 < -a/2 < 3となるので、f(0),f(1),f(2)が正になるようなaであれば条件を満たしそうです。
f(0) = (a+1)(a+2) > 0よりa<-2, -1<a ... (2)
f(1) = 1+a+(a+1)(a+2)=(a+3)(a+1)>0よりa<-3, -1<a ... (3)
f(2) = 4+2a+(a+1)(a+2)=(a+2)(a+3)>0よりa<-3,-2<a ... (4)
(1) or ((2) and (3) and (4))より、a<-3, -1<aであればよい、のでしょうか。
間違っていたらすみません。たぶん、定石とかはこの問題にはないと思います。