1/sin^x=2/1-cos2xの積分は−log│1-cos2x│/sin2x＋Cで合ってますか？

問題集には∫1/sin^2ｄｘ=-1/tanx＋Cと書いてあったのですが、、-1/tanxの微分が1/sin^2xになるのは納得行ったものの、
どう計算しても∫1/sin^2ｄｘ=-1/tanx＋Cとなるような気がしません。
一応半角公式を使って上のように解いてみましたが合ってるようには思えないです

出来れば上の式が合ってるかどうかに加えて∫1/sin^2ｄｘ=-1/tanx＋Cの式の導き方も教えてほしいです