>>298
n=3^k のときは整数になるっぽいです。
M=3^{k-1} として 2^n+1=(2^M)^3+1=(2^M+1)(2^(2M)-2^M+1) と因数分解します。
それから (2^M+1)/(3M) が整数になることを数学的帰納法で示します。

n=37，39，41 なども整数になるようですが，そちらは示せません。