>>3がさらっと

＞x,yの小数部をa,bとする。(0<a,b<1)
＞[x]+[y]=[x+y]は
＞[a]+[b]=[a+b]が必要十分条件。

と書いているが、
一般のnについてこれをきっちりと示そうと思う。

任意の実数xは、床関数floorを用いて
x=a+b

a=floor(x)
b=x-a
と表せる。
このとき0≦b<1である。

これを用いて題意の式を表現し直すと

納i=1,n][ai+bi]=[納i=1,n](ai+bi)]
納i=1,n](ai+[bi])=[納i=1,n]ai+納i=1,n]bi]
納i=1,n]ai+納i=1,n][bi]=納i=1,n]ai+[納i=1,n]bi]
納i=1,n][bi]=[納i=1,n]bi]

したがって、題意のxiは任意の実数であるが、
区間[0,1)内の実数を考えればよい。