納s=0,n]C(n,s)納j=0,s](-1)^(s-j) (2C(n+1,s-j)-C(n+2,s-j))(j+1)^n
=納j=0,n]納s=0,n]C(n,s)(-1)^(s-j) (2C(n+1,s-j)-C(n+2,s-j))(j+1)^n
=納j=0,n]納s=0,n]C(n,s)(-1)^(s-j) (C(n,s-j)-C(n,s-j-2))(j+1)^n
=納j=0,n] (-1)^j (C(n,(n+j)/2)cos((n+j)π/2)-C(n,(n+j+2)/2)cos((n+j+2)π/2))(j+1)^n
=納j=0,n] (-1)^j cos((n+j)π/2) C(n+1,(n+j+2)/2)(j+1)^n
=納j=0,n] cos((n-j)π/2) C(n+1,(n+j+2)/2)(j+1)^n
=納p=0,n] cos(pπ/2) C(n+1,(n+n-p+2)/2)(n-p+1)^n
pが偶数の時にのみ和を取ればよいので、
=納r=0,[n/2]] (-1)^r C(n+1,n+1-r)(n-2r+1)^n

途中で、Σ[r=0,n](-1)^r C(n,r) C(n,r-k) = C(n,(n+k)/2) cos((n+k)π/2)を用いている