n=2についてのみ考えてみました。
x=x1,y=y2とする。
x,yの小数部をa,bとする。(0<a,b<1)
[x]+[y]=[x+y]は
[a]+[b]=[a+b]が必要十分条件。
ここでa≧bとなるようにxとyを入れ替える。
[a]+[b]=[a+b]となるのは
([a],[b],[a+b])=(1,1,2),(1,0,1),(0,0,0)の3通り。
([a],[b],[a+b])=(1,1,2)のとき
1+4/9<a+b≦2+4/9となる。
座標平面ab上の
1+4/9<a+b≦2+4/9,0<a<1,0<b<1が占める面積は
25/162(=A[1]とおく)
([a],[b],[a+b])=(1,0,1)のとき
4/9<a+b≦1+4/9となる。
座標平面ab上の
4/9<a+b≦1+4/9,0<a<1,0<b<1が占める面積は
121/162(=A[2]とおく)
([a],[b],[a+b])=(0,0,0)のとき
0≦a+b≦4/9となる。
座標平面ab上の
0≦a+b≦4/9,0<a<1,0<b<1が占める面積は
8/81(=A[3]とおく)
以上より
[a]+[b]=[a+b]となる確率は
4/9*A[1]+A[2]+4/9*A[3]=1253/1458
[x]+[y]=[x+y]となる確率はこれに等しい。
n=2のときの求める確率は
1253/1458