補題
X を準コンパクト空間(過去スレ006の104)とし、Y をHausdorff空間とする。
f：X → Y を連続写像とする。
f が単射であれば f は X と f(X) の同相写像を引き起こす。

証明
Z を X の任意の閉集合とする。
X は準コンパクトであるから Z は準コンパクトである。
よって、f(Z) は Y の部分空間として準コンパクトである。
Y はHausdorffであるから f(Z) は Y の閉集合である。
特に f(X) は Y の閉集合である。
よって、f(Z) は f(X) の閉集合である。
よって、f は閉写像 f’：X → f(X) を引き起こす。
f’は連続であるから同相である。
証明終