補題
X を局所コンパクト空間(過去スレ006の128)とする。
A を X の空でない閉集合とする。

このとき X/A (過去スレ018の402)はHausdorff空間である。

証明
p：X → X/A を標準写像とする。
x, y ∈ X - A かつ x ≠ y とする。
X はHausdorffだから x ∈ U、y ∈ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V がある。
U’= U ∩ (X - A)
V’= V ∩ (X - A)
とおく。
U’と V’は開集合であり、
x ∈ U’、y ∈ V’、U’∩ V’= φ
p(U’) と p(V’) は開集合であり、p(x) ∈ p(U’)、p(y) ∈ p(V’)、
p(U’) ∩ p(V’)’= φ

x ∈ X - A、y ∈ A とする。
X は局所コンパクトであるから過去スレ006の408より正則(過去スレ006の210)である。
よって、過去スレ006の211より x の開近傍 U と A の開近傍 V で交わらないものがある。
p(U) は p(x) の開近傍で、p(V) は p(y) の開近傍であり、p(U) ∩ p(V) = φ

以上から X/A はHausdorff空間である。
証明終