命題(Stoneの表現定理)
A を一般Boole環(>>5)とする。
P(X(A)) を X(A)（>>77）の冪集合とする。
P(X(A)) はBoole代数(過去スレ021の336)であるから>>46よりBoole環と見なせる。
a を A の任意の元とする。
f(a) = {χ ∈ X(A)；χ(a) = 1} とおく。
このとき f：A → P(X(A)) は環の単射準同型である。
A がBoole環(>>6)のとき f(1) = X(A) である。

証明
a、b ∈ A のとき、
f(a + b) = {χ ∈ X(A)； χ(a + b) = 1} = {χ ∈ X(A)； χ(a) + χ(b) = 1}
= {χ ∈ X(A)； {χ(a), χ(b)} = {0, 1}} = f(a)Δf(b)
f(ab) = {χ ∈ X(A)； χ(ab) = 1} = {χ ∈ X(A)； χ(a)χ(b) = 1}
= {χ ∈ X(A)； χ(a) = 1、χ(b) = 1} = f(a)∩f(b)
よって、f は環準同型である。

f(a) = φ とする。
>>85より a = 0 である。
よって、f は単射である。

A がBoole環(>>6)であるとする。
>>87より f(1) = X(A) である。
証明終