命題
X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクト開集合全体を S(X) とおく。
Y を X の局所閉集合(過去スレ008の182)とする。
>>826より Y は X の部分空間として一般Stone空間である。
Y のコンパクト開集合全体を S(Y) とおく。
このとき、任意の W ∈ S(Y) に対して V ∈ S(X) があり、
W = Y ∩ V となる。

証明
W は Y の開集合であるから X の開集合 U があり W = Y ∩ U となる。
>>507より X は準連接空間(>>499)であるから S(X) は X の開集合の基底である。
よって、U は X のコンパクト開集合の合併となる。
W ⊂ U であり、W はコンパクトであるから W ⊂ V ⊂ U となる V ∈ S(X) がある。
W ⊂ Y ∩ V ⊂ Y ∩ U = W だから W = Y ∩ V である。
証明終