補題
X を完全分離(>>250)な位相空間とする。
X の任意の部分空間 Y は完全分離である。

証明
X は完全分離であるから、
任意の x、y ∈ Y、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる X の開かつ閉な部分集合 U がある。
V = U ∩ Y は Y の開かつ閉な部分集合であり、x ∈ V、y ∈ Y - V
よって、Y は完全分離である。
証明終