補題
A を一般Boole環(>>5)とする。
S を A の積閉(>>52)な部分集合とする。
I を A のイデアルで S ∩ I = φ とする。
Ψ = {J；J は A のイデアルで I ⊂ J かつ S ∩ J = φ} とおく。
P を Ψ の極大元とする。
このとき P は素イデアルである。

証明
S ∩ P = φ で S は空でないから P ≠ A である。
a と b を P に含まれない A の元とする。
>>80より P ≠ P + aA である。
同様に P ≠ P + bA である。
よって、S ∩ (P + aA) ≠ φ、S ∩ (P + bA) ≠ φ である。
S は積閉だから S ∩ (P + aA)(P + bA) ≠ φ である。
一方、(P + aA)(P + bA) ⊂ P + abA だから S ∩ (P + abA) ≠ φ である。
よって、ab は P に含まれない。
よって、P は素イデアルである。
証明終