>>801の修正

命題
X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環(過去スレ007の189)である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
K を X のコンパクト集合とする。
Φ = {U ∈ S(X)； K ⊂ U} とおく。
このとき Φ は S(X) のフィルター(過去スレ021の527)である。

証明
Φ が空でないことを示せばよい。
>>507より X は準連接空間(>>499)であるから S(X) は X の開集合の基底である。
X は局所コンパクトであるから K の各点はコンパクト開近傍を持つ。
K はコンパクトであるから K は有限個のコンパクト開集合の合併に含まれる。
よって、K ⊂ U となる U ∈ S(X) がる。
よって、Φ は空でない。
証明終