命題
X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環(過去スレ007の189)である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
X の開集合全体を Open(X) とする。
Open(X) は包含関係に関して束である。
S(X) のイデアル全体を Id(S(X)) とする。
Id(S(X)) は包含関係に関して束である。
U ∈ Open(X) にその双対イデアル(>>797)を対応させることにより
写像 α：Open(X) → Id(S(X)) が得られる。
I ∈ Id(S(X)) にその双対開集合(>>798)を対応させることにより
写像 β：Id(S(X)) → Open(X) が得られる。

このとき α は順序同型であり β はその逆写像である。

証明
U ∈ Open(X) に対してその双対イデアルを I とする。
>>507より X は準連接空間(>>499)であるから S(X) は X の開集合の基底である。
よって、U = ∪{V；V ∈ I} である。
よって、β(α(U)) = U である。

I ∈ Id(S(X)) に対してその双対開集合を U とする。
U の双対イデアルを J とする。
明らかに I ⊂ J である。
任意の V ∈ J に対して V ⊂ U である。
U は I に属すコンパクト開集合の合併であるから V は I に属すコンパクト開集合で被覆される。
V はコンパクトであるから V は I に属す有限個のコンパクト開集合で被覆される。
I はイデアルであるから V ∈ I である。
よって、J ⊂ I、即ち I = J である。
よって、α(β(I)) = I である。
(続く)