命題
Φ を集合 X 上の被約(>>670)かつ完全(>>690)な集合代数(過去スレ007の196)とする。
Ψ を集合 Y 上の集合代数とする。
>>721より X はStone空間(>>248)となり
Φ は X の開かつ閉な部分集合全体となるように出来る。
同様に Y はStone空間となり Ψ は Y の開かつ閉な部分集合全体となる。

f：Φ → Ψ をBoole代数の準同型(>>30)とする。
任意の y ∈ Y に対して M(y) = {A ∈ Ψ； y ∈ Y - A} とおく。
>>677より M(y) は Ψ の極大イデアル(>>99)である。
このとき、f^(-1)(M(y)) は Φ の極大イデアル(>>99)である。
Φ は完全であるから f^(-1)(M(y)) は X の点 x で決定される。
Φ は被約であるから x は y により一意に決まる。
よって、y に x を対応させることにより写像 g：Y → X が得られる。
このとき、g は連続である。
さらに任意の A ∈ Φ に対して g^(-1)(A) = f(A) である。

証明
>>305より、P ∈ Spec(Ψ) に f^(-1)(P) ∈ Spec(Φ) を対応させることにより
写像 Spec(f)：Spec(Ψ) → Spec(Φ) が得られる。
>>240より Spec(f) は連続である。
>>721の証明より X と Y は位相空間としてそれぞれ Spec(Φ) と Spec(Ψ) に同一視できる。
このとき、Spec(f) は g と同一視される。
よって、g は連続である。
>>240より任意の A ∈ Φ に対して Spec(f)^(-1)(D(A)) = D(f(A)) である。
よって、g^(-1)(A) = f(A) である。
証明終