命題
Φ を集合 X 上の完全(>>748)な集合環(過去スレ007の189)とする。
このとき X に位相を定義して Φ は X の準コンパクトな開集合全体となるように出来る。

証明
X に Φ を開集合の基底とするような位相を定義する。
即ち、Φ に属す集合の合併となるような X の部分集合全体を開集合とする。
このように定義出来ることは U、V ∈ Φ のとき U∩V ∈ Φ より明らかである。

X の準コンパクトな開集合は有限個の Φ に属す集合の合併であるから Φ に属す。
各 U ∈ Φ が準コンパクトであることを示そう。
U ∈ Φ が準コンパクトでないとする。
(V_i)、i ∈ I を Φ の元からなる族とし、U = ∪{V_i；i ∈ I} とする。
各 i ∈ I に対して F_i = U - V_i とおく。
Γ = {F_i；i ∈ I} とおく。
Γ ⊂ Φ であり Γ の有限個の交わりは空でない。
よって、>>745の証明と同様にして Γ を含む Φ の極大フィルター Ψ が存在する。
Φ は完全だから ∩Ψ ≠ φ である。
よって、∩Γ ≠ φ である。
これは U = ∪{V_i；i ∈ I} に反する。
証明終