>>721はStoneの表現定理(>>289)を使わなくても証明できる。

>>721の別証
命題
Φ を集合 X 上の被約(>>670)かつ完全(>>690)な集合代数(過去スレ007の196)とする。
このとき X に位相を定義して X はこの位相によりStone空間(>>248)となり
Φ は X の開かつ閉な部分集合全体となるように出来る。

証明
X に Φ を開集合の基底とするような位相を定義する。
即ち、Φ に属す集合の合併となるような X の部分集合全体を開集合とする。
このように定義出来ることは U、V ∈ Φ のとき U∩V ∈ Φ より明らかである。
U ∈ Φ のとき X - U ∈ Φ だから U は開かつ閉である。
Φ は被約だから X は完全分離(>>250)である。
よって、>>269より X はHausdorffかつ完全不連結(>>245)である。

X がコンパクトであることを証明しよう。
Γ を Φ の空でない部分集合で U、V ∈ Ψ のとき U∩V ≠ φ とする。
Γ で生成される Φ のフィルターを Γ_1 とする。
即ち、Γ_0 を Γ の元の空でない有限個の交わりとして表せる集合全体としたとき、
Γ_1 = {E ∈ Φ； A ⊂ E となる A ∈ Γ_0 がある} である。
Γ_1 は空集合を含まないから Γ_1 ≠ Φ である。
よって、Γ_1 を含む Φ の極大フィルター Ψ がある。
Φ は完全だから ∩Ψ ≠ φ である。
よって、∩Γ ≠ φ である。

(続く)