命題
Φ を集合 X 上の被約(>>670)かつ完全(>>690)な集合代数(過去スレ007の196)とする。
このとき X に位相を定義して X はこの位相によりStone空間(>>248)となり
Φ は X の開かつ閉な部分集合全体となるように出来る。

証明
Φ はBoole代数であるから>>46よりBoole環(>>6)と見なせる。
>>247より Spec(Φ) はStone空間である。
Spec(Φ) の開かつ閉な部分集合全体を S(Spec(Φ)) とおく。
写像 ρ：Φ → S(Spec(Φ)) を ρ(A) = D(A) (>>223)で定義する。
Stoneの表現定理(>>289)より ρ はBoole代数の同型である。

他方、各 x ∈ X に対して M(x) = {A ∈ Φ； x ∈ X - A} とおく。
>>677より M(x) は Φ の極大イデアル(>>99)である。
>>107より M(x) ∈ Spec(Φ) である。
f：X → Spec(Φ) を f(x) = M(x) により定義する。
Φ は被約(>>670)だから f は単射である。
>>75より、Spec(Φ) は Φ の極大イデアル全体と一致する。
Φ は完全(>>690)だから f は全射である。
よって、f は全単射である。
X の位相をSpec(Φ)の位相の f による逆像として定義する。
X は Spec(Φ) と同相であるからStone空間である。

任意の A ∈ Φ に対して
x ∈ f^(-1)(D(A)) ⇔ f(x) ∈ D(A) ⇔ A ∈ Φ - M(x) ⇔ x ∈ A
よって、f^(-1)(D(A)) = A
よって、Φ は X の開かつ閉な部分集合全体である。
証明終