命題(>>677の拡張)
Φ を集合 X 上の集合環(過去スレ007の189)とする。
任意の x ∈ ∪Φ に対して
Φ(x) = {A ∈ Φ； x ∈ A}
M(x) = {A ∈ Φ； x ∈ X - A}
とおく。

このとき Φ(x) は Φ の極大フィルター(>>96)であり、
M(x) は Φ の極大イデアル(>>99)である。

証明
ε = {0, 1} を２元体とする。
ε はBoole代数(過去スレ021の336)と見なす。
写像 f：Φ → ε を f(A) = (χ_A)(x) により定義する。
ここで、χ_A は A の特性関数である。
f は明らかに一般Boole代数(過去スレ021の373)としての準同型(>>29)である。
よって、>>44より f は一般Boole環(>>5)としての準同型である。
x ∈ ∪Φ であるから x ∈ A となる A ∈ Φ がある。
f(A) = 1 であるから f(Φ) = ε である。
よって、Φ/Ker(f) は ε と同型である。
よって、M(x) = Ker(f) は Φ の環としての素イデアルである。
>>203より M(x) は Φ の束としての素イデアル(>>100)である。
>>106より、Φ(x) は Φ の素フィルター(>>97)である。
よって、>>445より、Φ(x) は Φ の極大フィルター(>>96)であり、
M(x) は Φ の極大イデアル(>>99)である。
証明終