命題
K を単位元をもつ可換環とする。
A を単位元を持つ K 上の可換代数とする。
A が 0 と A 以外のイデアルを持たないなら A は体である。

証明
x ≠ 0 を A の任意の非零元とする。
xA は A の K-部分加群であるから A のイデアルである。
xA は x = x1 を含むから 0 ではない。
よって、xA = A である。
よって xy = 1 となる y ∈ A がある。
よって A は体である。
証明終