命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
B を A の部分代数(>>605)とする。
a を A の任意の元とする。
このとき、B∪{a} で生成される部分代数(>>616)は
C = {(b∧a)△c；b、c∈ B} = {(b∧a)∨(c＼a)；b、c∈ B}
である。

証明
>>44より A は一般Boole環(>>5)と見なせる。
b、c∈ B のとき
(b∧a)∨(c＼a) = ba∨(c + ca) = ba + (c + ca) + ba(c + ca)
= ba + c + ca + bac + bac = ba + c + ca = (b + c)a + c
よって、{(b∧a)△c；b、c ∈ B} = {(b∧a)∨(c＼a)；b、c∈ B} である。

任意の b ∈ B に対して b = 0a + b = (0∧a)△b ∈ C
よって、B ⊂ C
特に 1 ∈ B だから 1 ∈ C

b、c, d , e ∈ B のとき
(ba + c) + (da + e) = (b + d)a + c + e
(ba + c)(da + e) = bda + bea + cda + ce = (bd + be + cd)a + ce
よって、C は A の部分代数である。

B ⊂ C および a = (1∧a)△0 ∈ C より C は B∪{a} で生成される。
証明終