代数的整数論 022
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0001１３２人目の素数さん
2011/02/06(日) 09:59:53Kummer ◆IxIr9aihfg（旧g2BU0D6YN2）が代数的整数論を語るスレです。
現在は代数的整数論の準備をしています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
0656１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 01:47:39.87でてこいよ
そして
つまらないこと
かきちらしてくれよ
おねがいだからさ
そして
ねこをけちらしてくれよ
0657１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 01:48:49.300658１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 01:49:05.01どないもせんわ
のたれじにするのをたのしみにしてるだけや
じたばたするなよ
みぐるしいぞ
0659１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 01:50:05.18でてこんかいアホ
0660１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 01:54:19.650661猫は加齢臭 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/02(水) 01:54:46.050663Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 03:54:48.67A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
a を A の任意の元とする。
{a} で生成される A の部分環(>>600)は B = {0, a} である。
B はBoole代数 {0} または {0, 1} に同型である。
0664Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 04:00:10.84A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
a を A の任意の元とする。
{a} で生成される A の部分代数(>>616)は B = {0, 1, a, a’} である。
0665１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 05:00:39.08電源コードを変えると味が変わるのは炊飯界では常識です。
私は発電所から専用線で我が家まで電力を引っ張り込んでいます。
電線の材質は無酸素銅が最高ですよ。
おｂｩげで、ウチはャ}イコンですが＝AIHよりいい味ｂｪしますよ。
ちなみに電力会社の違いでも味付けにサがでるよ。
電力会社 長所 短所 お奨め度
---------------------------------------------------------
東京電力 バランス ﾓｯﾁﾘ遅い C
中部電力 粘度強い 粘度強すぎ A+
関西電力 さっぱり 粘度薄い B
中国電力 透明感 粘度薄い B+
北陸電力 ｳｪｯﾄな艶 個性が無い A-
東北電力 密度と色 粘度薄い A+
四国電力 色とﾆｵｲ 粘度薄い A
九州電力 バランス ｺﾒの距離感 C
北海道電力 品質 味が狭い B-
沖縄電力 芯に艶 味ﾓｯｻﾘ A
で、上は発電所から５Ｋｍ地点での特徴。
それより自宅〜発電所間の距離が長いと上記特徴＋マイルドの味付け
短いと上記特徴＋刺激的な味付けが加わるよ。
0666Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 07:39:26.93A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
B を A の部分代数(>>605)とする。
a を A の任意の元とする。
このとき、B∪{a} で生成される部分代数(>>616)は
C = {(b∧a)△c；b、c∈ B} = {(b∧a)∨(c＼a)；b、c∈ B}
である。
証明
>>44より A は一般Boole環(>>5)と見なせる。
b、c∈ B のとき
(b∧a)∨(c＼a) = ba∨(c + ca) = ba + (c + ca) + ba(c + ca)
= ba + c + ca + bac + bac = ba + c + ca = (b + c)a + c
よって、{(b∧a)△c；b、c ∈ B} = {(b∧a)∨(c＼a)；b、c∈ B} である。
任意の b ∈ B に対して b = 0a + b = (0∧a)△b ∈ C
よって、B ⊂ C
特に 1 ∈ B だから 1 ∈ C
b、c, d , e ∈ B のとき
(ba + c) + (da + e) = (b + d)a + c + e
(ba + c)(da + e) = bda + bea + cda + ce = (bd + be + cd)a + ce
よって、C は A の部分代数である。
B ⊂ C および a = (1∧a)△0 ∈ C より C は B∪{a} で生成される。
証明終
0667１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 07:40:17.95証明 自明
とやらを続けるのかね？
0668１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 07:45:05.18国家公務員共済年金はもらえるの？ 後学の為に教えてチョ
0669１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 07:47:14.49２２年年金を納めておれば、あと３年分くらいで年金自体は６５歳（６０歳？）から支給されるが
問題は基礎年金（国民年金）部分ではなくて２階部分である共済年金が出るのかどうかだ。
0670Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 07:48:21.94Φ を集合 X 上の集合環(過去スレ007の189)とする。
X の任意の２点 x ≠ y に対して x ∈ A、y ∈ X - A となる A ∈ Φ があるとき
Φ は被約(reduced)であると言う。
0671１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 07:50:36.450672Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 07:52:03.87X を任意の集合とする。
冪集合 P(X) は被約(>>670)である。
0673１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 07:53:52.32規約で禁止されている個人スレを延々と続けている。迷惑がっている人がいるのも
理解出来ます。自分の勉強ノートなら、なにも２ちゃんねるでやらんでもよいだろう。
0674１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 07:56:53.280675Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 08:15:45.59Boole代数をやってるのは測度論に応用するためです(過去スレ021の113)。
測度論は位相群上の調和解析に応用されます。
Boole代数が整数論に必要かと言われると答えは否でしょう。
必要最小限の道具で整数論をやることも出来ます（例えば高木の代数的整数論）。
そういう方法が好きな人は例えば高木の本を見てください。
このシリーズの方針はそれらの本とは別です。
何回も書いてますが、今は準備段階なのでこのスレを隅から隅まで順に読む必要はありません。
むしろ必要になった時点でこのスレを読むことを薦めます。
0676Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 08:36:57.48X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を S(X) とおく。
>>430より、S(X) は X の集合環である。
>>507より X は準連接空間(>>499)であるから S(X) は被約(>>670)である。
0677Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 09:33:29.60Φ を集合 X 上の集合代数(過去スレ007の196)とする。
任意の x ∈ X に対して
Φ(x) = {A ∈ Φ； x ∈ A}
M(x) = {A ∈ Φ； x ∈ X - A}
とおく。
このとき Φ(x) は Φ の極大フィルター(>>96)であり、
M(x) は Φ の極大イデアル(>>99)である。
証明
X ∈ Φ(x) より Φ(x) は空でない。
A、B ∈ Φ(x) のとき A∩B ∈ Φ(x)
A ∈ Φ(x)、A ⊂ B、B ∈ Φ なら B ∈ Φ(x) である。
以上から Φ(x) は Φ のフィルターである。
φ は Φ(x) に属さないから Φ(x) ≠ Φ である。
よって、>>296より Φ(x) は Φ の極大フィルターである。
M(x) = {X - A； A ∈ Φ(x)} だから、>>295より M(x) は Φ の極大イデアルである。
証明終
0678Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 09:39:39.82Φ を集合 X 上の集合代数(過去スレ007の196)とする。
任意の x ∈ X に対して、>>677の Φ(x) を x により決定される極大フィルターと言う。
同様に、>>677の M(x) を x により決定される極大イデアルと言う。
0679１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 10:24:19.20ないんなら、文献を提示して下さい
0680 ◆PsXHu9UyPk
2011/03/02(水) 10:57:03.61最近、クンマーさんにイチャモンつけて邪魔する
ゴキブリが住み着いたみたいですが
気にせずに心置きなく続けてください
ゴキブリどものクソスレの方が
よっぽど迷惑です
0681 ◆PsXHu9UyPk
2011/03/02(水) 10:59:44.33ゴキブリホイホイ設置しますね
(^3^)/〓〓
0682Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 11:32:17.86私のオリジナルなわけないですよ。
ただし、個々の命題の証明は私が考えたものが多いです。
それと一般Boole代数(過去スレ021の373)に関する記述(一般Stone空間を含む)は
Fremlinにある部分を除いて私が考えたものが多いです。
簡単な拡張なので既に知られてると思いますが。
Boole代数に関しては
Boolean Algebras by Sikorski
Introduction to Boolean algebras by Givant, Halmos
Stone spaces by Johnstone
Measure theory vol.3 by Fremlin
束論に関しては
Lattice theory by Birkhoff
General lattice theory by Gratzer
Lattices and ordered sets by Roman
Lattices and ordered algebraic structures by Blyth
0683１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 12:47:53.50おまえはゴキブリの糞やな
ゴキブリについてまわっとる
0684Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 13:24:23.54一般位相に関しては
Bourbaki
General topology by Kelley
General topology by Willard
General topology by Engelking
0685Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 14:08:56.84Φ を集合 X 上の集合環(過去スレ007の189)とする。
任意の x ∈ ∪Φ に対して
Φ(x) = {A ∈ Φ； x ∈ A}
M(x) = {A ∈ Φ； x ∈ X - A}
とおく。
このとき Φ(x) は Φ の極大フィルター(>>96)であり、
M(x) は Φ の極大イデアル(>>99)である。
証明
ε = {0, 1} を２元体とする。
ε はBoole代数(過去スレ021の336)と見なす。
写像 f：Φ → ε を f(A) = (χ_A)(x) により定義する。
ここで、χ_A は A の特性関数である。
f は明らかに一般Boole代数(過去スレ021の373)としての準同型(>>29)である。
よって、>>44より f は一般Boole環(>>5)としての準同型である。
x ∈ ∪Φ であるから x ∈ A となる A ∈ Φ がある。
f(A) = 1 であるから f(Φ) = ε である。
よって、Φ/Ker(f) は ε と同型である。
よって、M(x) = Ker(f) は Φ の環としての素イデアルである。
>>203より M(x) は Φ の束としての素イデアル(>>100)である。
>>106より、Φ(x) は Φ の素フィルター(>>97)である。
よって、>>445より、Φ(x) は Φ の極大フィルター(>>96)であり、
M(x) は Φ の極大イデアル(>>99)である。
証明終
0686Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 14:10:23.37Φ を集合 X 上の集合環(過去スレ007の189)とする。
任意の x ∈ ∪Φ に対して、>>685の Φ(x) を x により決定される極大フィルターと言う。
同様に、>>685の M(x) を x により決定される極大イデアルと言う。
0687Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 14:41:53.16X を無限集合とする。
Φ = {A ⊂ X； A または X - A は有限集合} とおく。
Φ は X 上の集合代数(過去スレ007の196)である。
P = {A ⊂ X； A は有限集合}、
F = {A ⊂ X； A は無限集合} とおく。
F は明らかに Φ のフィルター(過去スレ021の527)であり、F ≠ Φ である。
よって、>>296より F は極大フィルター(>>96)である。
P = Φ - F であるから>>445より P は極大イデアル(>>99)である。
P および F は X のどの点によっても決定(>>678)されない。
0688１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 16:10:44.900690Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 16:28:46.16Φ を集合 X 上の集合代数(過去スレ007の196)とする。
Φ の任意の極大フィルター(>>96)が X のある点により決定される(>>678)とき
Φ は完全(perfect)であるという。
0691Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 16:33:58.84Φ を集合 X 上の集合代数(過去スレ007の196)とする。
Φ が完全(>>690)であるためには Φ の任意の極大イデアル(>>99)が
X のある点により決定されることが必要十分である。
証明
>>445より明らかである。
0692１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 16:49:39.180693１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 16:50:34.270694猫は統合失調症 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/02(水) 16:53:21.98『全くその通り』ですね。私には内容が全く理解出来ないので仕方なく
貴方達の書き込みしか見ていません。だから貴方達の書き込みに対して
『のみ』に今後もずっとレスをし続ける事にしています。
今後も末永く宜しくお付き合い下さいませ。
猫
0696１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:03:59.14職場を懲戒解雇となりました。
その決定が下る前に人権を盾にごねたりしたのです。
心神耗弱で罪を逃れようとすらしたようですよ。
大変立派なお方です。
常人には真似ができません。
0697Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 17:07:00.17Φ を集合 X 上の有限な集合代数(過去スレ007の196)とする。
Φ は完全(>>690)である。
証明
F を Φ の極大フィルター(>>96)とする。
F は有限であるから ∩F ∈ F である。
F ≠ P(X) であるから ∩F は空でない。
任意の x ∈ ∩F に対して Φ(x) = {A ∈ Φ； x ∈ A} とおけば
F ⊂ Φ(x) である。
>>677より、Φ(x) は Φ の極大フィルターであるから F = Φ(x) である。
よって、Φ は完全である。
証明終
0698１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:07:07.490699１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:09:00.07熊なのに馬と鹿なのか
0700１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:10:03.130703１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:14:23.24この歳になって初めて知ったことは、
2chというものを、どんなに荒らしまわっても、
二ヶ月ほどで、復帰できるということ。
おれも、むしゃくしゃしたら、むちゃくちゃ荒らし回って
やろうと思う。
0704１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:18:04.97そんな偉そうなこと言うなんて身の程知らずだな。
0705１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:19:30.45アホ猫さんに束論を講義してもらいましょう
置換論ならできるでしょう
いや
痴漢論
0708１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:25:00.410709Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 17:26:18.93X を無限集合とする。
X の冪集合 P(X) は完全(>>690)でない。
証明
I = {A ⊂ X； A は有限集合} とおく。
I は P(X) のイデアルであり、I ≠ P(X) である。
Zornの補題より I を含む P(X) の極大イデアル M が存在する。
任意の x ∈ X に対して {x} ∈ I であるから
M は X のどの点でも決定(>>678)されない。
よって、P(X) は完全でない。
証明終
0711１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:30:04.740712１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 17:30:56.830713Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 17:32:23.74X を無限集合とする。
Φ を集合 X 上の集合代数(過去スレ007の196)とする。
Φ は X の全ての有限部分集合を含むとする。
このとき、Φ は完全(>>690)でない。
証明
>>709と同様である。
0714猫は統合失調症 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/02(水) 17:38:17.27猫
0715猫は統合失調症 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/02(水) 17:48:36.01まあエエけどォー
猫
0716１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 18:44:41.91くだらない…
0718Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 19:42:35.18X を準コンパクト空間(過去スレ006の104)とする。
Φ を X の開かつ閉な部分集合全体とする。
>>249より Φ は X 上の集合代数(過去スレ007の196)である。
このとき Φ は完全(>>690)である。
証明
F を Φ の極大フィルターとする。
X は準コンパクトであるから ∩F ≠ φ である。
F は任意の x ∈ ∩F により決定される(>>678)。
証明終
0719Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 19:50:04.08X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を S(X) とする。
>>249より Φ は X 上の集合代数(過去スレ007の196)である。
このとき Φ は被約(>>670)かつ完全(>>690)である。
証明
>>676と>>718による。
0720Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 19:51:22.17命題
X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体を Φ とする。
>>249より Φ は X 上の集合代数(過去スレ007の196)である。
このとき Φ は被約(>>670)かつ完全(>>690)である。
証明
>>676と>>718による。
0721Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/02(水) 21:40:51.42Φ を集合 X 上の被約(>>670)かつ完全(>>690)な集合代数(過去スレ007の196)とする。
このとき X に位相を定義して X はこの位相によりStone空間(>>248)となり
Φ は X の開かつ閉な部分集合全体となるように出来る。
証明
Φ はBoole代数であるから>>46よりBoole環(>>6)と見なせる。
>>247より Spec(Φ) はStone空間である。
Spec(Φ) の開かつ閉な部分集合全体を S(Spec(Φ)) とおく。
写像 ρ：Φ → S(Spec(Φ)) を ρ(A) = D(A) (>>223)で定義する。
Stoneの表現定理(>>289)より ρ はBoole代数の同型である。
他方、各 x ∈ X に対して M(x) = {A ∈ Φ； x ∈ X - A} とおく。
>>677より M(x) は Φ の極大イデアル(>>99)である。
>>107より M(x) ∈ Spec(Φ) である。
f：X → Spec(Φ) を f(x) = M(x) により定義する。
Φ は被約(>>670)だから f は単射である。
>>75より、Spec(Φ) は Φ の極大イデアル全体と一致する。
Φ は完全(>>690)だから f は全射である。
よって、f は全単射である。
X の位相をSpec(Φ)の位相の f による逆像として定義する。
X は Spec(Φ) と同相であるからStone空間である。
任意の A ∈ Φ に対して
x ∈ f^(-1)(D(A)) ⇔ f(x) ∈ D(A) ⇔ A ∈ Φ - M(x) ⇔ x ∈ A
よって、f^(-1)(D(A)) = A
よって、Φ は X の開かつ閉な部分集合全体である。
証明終
0722１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 21:43:39.22数学に憧れてる中学生もしくは高校生でしょうか？
稚拙な印象をどうしても受けます。
0723∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/02(水) 21:48:05.91数学に憧れ『た』崩れ馬鹿院生でしょうか？
敗北の印象をどうしても受けます。
猫
0724１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 22:28:23.32数学に捨てられ「た」性犯罪者でしょうか？
社会の屑の印象をどうしても受けます。
0725１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 22:36:19.700726１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 22:43:10.890728１３２人目の素数さん
2011/03/02(水) 22:45:44.120729∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/02(水) 22:56:48.33猫
0730∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 00:41:24.56大学院から追放された落ちこぼれの落伍者でしょうか？
学歴社会からのはみ出し者という印象をどうしても受けます。
猫
0731∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 00:48:52.62猫
0732∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 00:59:49.57難解な数学に挫折し、英語の論文は理解不能。
修士論文は書けず、博士論文は遥か夢の彼方。
学位を取れども研究職にはありつけず、
海外に出ようにも評価も無ければ英語も話せない。
崩れの院生はああ悲し・・・
猫
0733∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 01:08:49.92猫
0734１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 01:09:04.48ねこに感謝するぞ
猫はどんどん書き込んでくまーの邪魔をしてくれよな
0735∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 01:12:23.57猫
0736１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 01:14:57.12おれはおまえをあほくまの邪魔に利用している
まんまとはまってご苦労さんやのう
0737１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 01:17:37.710738１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 01:18:11.36/ ⌒ ⌒ ヽ
/ （ ●）（●） |
| （__人__） } うーっす
/､. ｀ ⌒´ ヽ
/ |
| | /
ヽ_| ┌──┐ |丿
| ├──┤ |
| ├──┤ |
0739∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 01:22:46.73にて嵌って差し上げますので、ご利用の際にはまたお申し付け下さい。
格安にてお申し受け致します。
店主敬白
邪魔屋本舗 猫田彦市
0740１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 01:35:16.11おまえかてすべてのすれをつぶすのがもくてきやろが
えさもらってるんやから
おまえが払えよ
えさ代
0741∴猫は多重精神病 ◆MuKUnGPXAY
2011/03/03(木) 01:37:31.40猫
0742Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 04:51:24.22命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
B を A の部分代数(>>605)とする。
a を A の任意の元とする。
このとき、B∪{a} で生成される部分代数(>>616)は
C = {(b∧a)∨(c∧a’)；b、c∈ B}
である。
証明
>>46より A をBoole環と見なす。
C = {ba + ca’；b、c ∈ B} である。
b ∈ B のとき b = b(a + a’) = ba + ba’∈ C
よって、B ⊂ C
a = 1a + 0a’∈ C
よって、C が A の部分代数(>>605)であることを示せばよい。
b、c, d , e ∈ B のとき
ba + ca’+ da + ea’= (b + d)a + (c + e)a’∈ C
(ba + ca’)(da + ea’) = bda + beaa’+ cdaa’+ cea’= bda + cea’∈ C
よって、>>595より C は A の部分環(>>592)である。
1 ∈ B ⊂ C であるから>>610より C は A の部分代数である。
証明終
0743１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 06:51:12.03しかも何年も…
かわいそｗ
0745Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 07:36:14.31>>721の別証
命題
Φ を集合 X 上の被約(>>670)かつ完全(>>690)な集合代数(過去スレ007の196)とする。
このとき X に位相を定義して X はこの位相によりStone空間(>>248)となり
Φ は X の開かつ閉な部分集合全体となるように出来る。
証明
X に Φ を開集合の基底とするような位相を定義する。
即ち、Φ に属す集合の合併となるような X の部分集合全体を開集合とする。
このように定義出来ることは U、V ∈ Φ のとき U∩V ∈ Φ より明らかである。
U ∈ Φ のとき X - U ∈ Φ だから U は開かつ閉である。
Φ は被約だから X は完全分離(>>250)である。
よって、>>269より X はHausdorffかつ完全不連結(>>245)である。
X がコンパクトであることを証明しよう。
Γ を Φ の空でない部分集合で U、V ∈ Ψ のとき U∩V ≠ φ とする。
Γ で生成される Φ のフィルターを Γ_1 とする。
即ち、Γ_0 を Γ の元の空でない有限個の交わりとして表せる集合全体としたとき、
Γ_1 = {E ∈ Φ； A ⊂ E となる A ∈ Γ_0 がある} である。
Γ_1 は空集合を含まないから Γ_1 ≠ Φ である。
よって、Γ_1 を含む Φ の極大フィルター Ψ がある。
Φ は完全だから ∩Ψ ≠ φ である。
よって、∩Γ ≠ φ である。
(続く)
0746Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 07:37:16.33一方、(U_i)、i ∈ I を Φ の元からなる X の任意の被覆とする。
各 i ∈ I に対して F_i = X - U_i とおく。
∩F_i = φ である。
上記から I の有限部分集合 J があり ∩{F_j；j ∈ J} = φ となる。
よって、X = ∪{U_j；j ∈ J} である。
よって、X はコンパクトである。
即ち、X はStone空間である。
U を X の任意の開かつ閉な部分集合とする。
U はコンパクトだから Φ の元の有限個の合併である。
よって、U ∈ Φ である。
よって、Φ は X の開かつ閉な部分集合全体と一致する。
証明終
0747Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 08:04:05.04Φ を集合 X 上の完全(>>690)な集合代数(過去スレ007の196)とする。
このとき X に位相を定義して X はこの位相により準コンパクト(過去スレ006の104)となり
Φ は X の開かつ閉な部分集合全体となるように出来る。
証明
>>745の証明と同様である。
0748Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 08:19:08.61Φ を集合 X 上の集合環(過去スレ007の189)で、X = ∪Φ とする。
Φ の任意の極大フィルター(>>96)が X のある点により決定される(>>686)とき
Φ は完全(perfect)であるという。
0749Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 08:42:43.08Φ を集合 X 上の完全(>>748)な集合環(過去スレ007の189)とする。
このとき X に位相を定義して Φ は X の準コンパクトな開集合全体となるように出来る。
証明
X に Φ を開集合の基底とするような位相を定義する。
即ち、Φ に属す集合の合併となるような X の部分集合全体を開集合とする。
このように定義出来ることは U、V ∈ Φ のとき U∩V ∈ Φ より明らかである。
X の準コンパクトな開集合は有限個の Φ に属す集合の合併であるから Φ に属す。
各 U ∈ Φ が準コンパクトであることを示そう。
U ∈ Φ が準コンパクトでないとする。
(V_i)、i ∈ I を Φ の元からなる族とし、U = ∪{V_i；i ∈ I} とする。
各 i ∈ I に対して F_i = U - V_i とおく。
Γ = {F_i；i ∈ I} とおく。
Γ ⊂ Φ であり Γ の有限個の交わりは空でない。
よって、>>745の証明と同様にして Γ を含む Φ の極大フィルター Ψ が存在する。
Φ は完全だから ∩Ψ ≠ φ である。
よって、∩Γ ≠ φ である。
これは U = ∪{V_i；i ∈ I} に反する。
証明終
0750Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 09:30:50.23Φ を集合 X 上の被約(>>670)かつ完全(>>748)な集合環(過去スレ007の189)とする。
このとき X に位相を定義して X はこの位相により一般Stone空間(>>440)となり
Φ は X のコンパクトな開集合全体となるように出来る。
証明
Φ は完全だから >>749より、X に位相を定義して Φ は X の準コンパクトな開集合全体と
なるように出来る。
Φ は被約だから任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ X - U となる U ∈ Φ がある。
Φ は完全だから X = ∪Φ である。
よって、y ∈ V となる V ∈ Φ がある。
y ∈ V - U で V - U ∈ Φ である。
よって、X はHausdorff空間である。
よって、Φ の各元は開かつ閉である。
よって、X は完全分離(>>250)である。
一方、X = ∪Φ より X の各点はコンパクトな近傍を持つ。
よって、X は局所コンパクトである。
よって、>>439より X は一般Stone空間である。
証明終
0752Kummer ◆IxIr9aihfg
2011/03/03(木) 10:04:46.57X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクトな開集合全体を Φ とする。
>>430より、Φ は X の集合環である。
このとき Φ は被約(>>670)かつ完全(>>748)である。
証明
>>676より Φ は被約(>>670)である。
X は局所コンパクトであるから X = ∪Φ である。
Ψ を Φ の極大フィルターとする。
Ψ の各元はコンパクトであるから ∩Ψ ≠ φ である。
Ψ は任意の x ∈ ∩Ψ により決定される(>>686)。
よって、Φ は完全である。
証明終
0753１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 12:11:55.81／／￣￣＼ ／￣￣＼＼
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0754１３２人目の素数さん
2011/03/03(木) 12:13:44.13しかも何年も…
かわいそｗ
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