命題
K を可換体とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
B を単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数（>>57）とする。
I を A の正則イデアル(>>62)とし、u を A の mod I の単位元(>>61)とする。
J = K(u - 1) + I とおく。
このとき J は A に含まれない B のイデアルで I = A ∩ J となる。

証明
A(u - 1) ⊂ I より、AJ ⊂ A(u - 1) + AI ⊂ I
J は B の K-部分加群だから J は B のイデアル(>>60)である。
u - 1 ∈ J だから J は A に含まれない。
y = α(u - 1) + x、α ∈ K、x ∈ I を A ∩ J の元とする。
α ≠ 0 とすると u - 1 = (1/α)(y - x) ∈ A となって矛盾。
よって、α = 0 となり y ∈ I である。
よって、A ∩ J ⊂ I である。
逆の包含関係は明らかであるから I = A ∩ J である。
証明終