命題
K を可換体とする。
A を単位元をもつとは限らない K 上の可換代数とする。
B を単位元の添加により A から得られる K 上の可換代数（>>57）とする。
J を A に含まれない B のイデアルとする。
I = A ∩ J とおく。
このとき A の mod I の単位元(>>62) u があり J = K(u - 1) + I となる。

証明
J は A に含まれないから α + a ∈ J となる 0 ≠ α ∈ K と a ∈ A がある。
1 + (1/α)a = (1/α)(α + a) より、1 + (1/α)a ∈ J である。
u = -(1/α)a とおけば u ∈ A で u - 1 ∈ J

y を J の任意の元とする。
y = β + x、β ∈ K、x ∈ A と書ける。
y = β + x = -β(u - 1) + (x + βu)

x + βu = y + β(u - 1) ∈ A ∩ J = I
よって、J ⊂ K(u - 1) + I
逆の包含関係は明らかであるから J = K(u - 1) + I である。

任意の x ∈ A に対して xu - x = x(u - 1) ∈ J ∩ A = I
よって、 u は A の mod I の単位元である。
証明終