命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
S を A の任意の部分集合とする。
B を S で生成される部分代数(>>616)とする。

S が空集合のとき B = {0, 1} である。
S が空集合でないとき B は次の形の元全体である。

(p_1)∨．．．∨(p_n)

ここで、各 p_k は a_(k, 1)∧．．．∧a_(k, k_m) の形の元である。
ここで、a_(k, i) ∈ S または (a_(k, i))’ ∈ S である。

証明
S が空集合のとき明らかに B = {0, 1} である。

S が空集合でないとする。
上記の形の元全体を C とする。

S ⊂ C であるから C は空でない。
a, b ∈ C のとき明らかに a∨b ∈ C である。
De Morganの公式(>>565)と分配律より a ∈ C のとき a’∈ C である。
よって、C は部分代数(>>605)である。
B は上記の形の元を含むから C ⊂ B である。
よって、C = B である。
証明終