命題
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
B を A の部分集合とする。

以下の条件は同値である。

(1) B は A の部分代数(>>605)である。

(2) B は A の部分環(>>592)で A の最大元 1 を含む。

(3) >>46より A をBoole環(>>6)とみたとき B は A の単位元 1 を共有する部分環である。

(4) B は A の空でない部分集合で次の条件を満たす。

(ⅰ) a, b ∈ B のとき a∧b ∈ B

(ⅱ) a ∈ B のとき a’∈ B

証明
(1) ⇒ (2)
a, b ∈ B のとき De Morganの公式(>>565)より
(a∧b)’= a’∨b’∈ B
よって、a∧b ∈ B
よって、a＼b = a∧b’∈ B
よって、B は A の部分環(>>592)である。
>>596より、0 ∈ B だから 1 = 0’∈ B

(2) ⇒ (3)
>>595より明らかである。

(続く)