命題
A を一般Boole代数(過去スレ021の373)とする。
B を A の部分集合とする。

以下の条件は同値である。

(1) B は A の部分環(>>592)である。

(2) >>44より A を一般Boole環(>>6)とみたとき B は A の部分環である。

証明
(1) ⇒ (2)
a, b ∈ B のとき>>22より a△b = (a＼b)∨(b＼a) ∈ B
また、a∧b = (a∨b)＼(a△b) ∈ B

(2) ⇒ (1)
a, b ∈ B のとき a∨b = (a△b)△(a∧b) ∈ B
また、a＼b = a△(a∧b) ∈ B
証明終