命題(Boole代数における無限分配律)
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
(b_i)、i ∈ I を A の元の族とする。
∨b_i が存在するとする。
このとき、任意の a ∈ A に対して

a∧(∨b_i) = ∨(a∧b_i)

証明
各 i ∈ I に対して b_i ≦ ∨b_i
よって、a∧b_i ≦ a∧(∨b_i)
よって、∨(a∧b_i) ≦ a∧(∨b_i)

a∧(∨b_i) ≦ ∨(a∧b_i) を証明しよう。
各 i ∈ I に対して a∧b_i ≦ c とする。
a∧(∨b_i) ≦ c を示せばよい。
b_i = 1∧b_i = (a∨a’)∧b_i = (a∧b_i)∨(a’∧b_i) ≦ c∨a’
よって、∨b_i ≦ c∨a’
よって、a∧(∨b_i) ≦ a∧(c∨a’) = (a∧c)∨(a∧a’) = (a∧c)∨0 = a∧c ≦ c
証明終