命題(無限個の元に関するDe Morganの公式)
A をBoole代数(過去スレ021の336)とする。
(a_i)、i ∈ I を A の元の族とする。

(1) ∨a_i が存在すれば (∨a_i)’= ∧(a_i)’

(2) ∧a_i が存在すれば (∧a_i)’= ∨(a_i)’

証明
(1) a = ∨a_i とおく。
各 i ∈ I に対して a_i ≦ a
>>566より、a’≦ (a_i)’
即ち a’は (a_i)、i ∈ I の下界である。

b ∈ A と各 i ∈ I に対して b ≦ (a_i)’とする。
>>566より、a_i ≦ b’
よって a ≦ b’
>>566より、b ≦ a’
よって、a’= ∧(a_i)’

(2)
(1) の双対である。
証明終