補題(>>298の拡張)
X を一般Stone空間(>>440)とする。
X のコンパクト開集合全体を S(X) とする。
>>430より、S(X) は X の集合環(過去スレ007の189)である。
従って S(X) は包含関係に関して一般Boole代数(過去スレ021の373)である。
ε = {0, 1} を２元体とする。
S(X) の指標(>>90)の全体を S(X)＾と書く。
任意の x ∈ X に対して写像 x＾：S(X) → ε を x＾(E) = (χ_E)(x) により定義する。
ここで、χ_E は E の特性関数である。
>>292より x＾∈ S(X)＾である。
このとき、写像 x → x＾は X から S(X)＾への全単射である。

証明
x、y ∈ X、x ≠ y とする。
X はHausdorff空間であるから、x ∈ U、y ∈ X - U となる開集合 U がある。
>>507より、X は準連接空間(>>499)であるから、x ∈ V ⊂ U となる V ∈ S(X) がある。
x＾(V) = 1、y＾(V) = 0 だから x＾≠ y＾である。
よって、写像 x → x＾は単射である。

f ∈ S(X)＾を任意の指標とする。
Ψ = {E ∈ S(X)；f(E) = 1} とおく。
P = {E ∈ S(X)；f(E) = 0} は S(X) の素イデアルであり、Ψ = S(X) - P であるから
>>445より、Ψ は S(X) の極大フィルターである。
Ψ は空集合を含まないから Ψ に属す有限個の集合は必ず交わる。
Ψ の各元はコンパクトだから ∩Ψ ≠ 0 である。
x ∈ ∩Ψ とする。
Ψ ⊂ {E ∈ S(X)；x＾(E) = 1} である。
Ψ は極大フィルターだから Ψ = {E ∈ S(X)；x＾(E) = 1} である。
よって、f = x＾ である。
よって、写像 x → x＾は全射である。
証明終