命題
X を局所コンパクト空間(過去スレ006の128)とする。
以下の条件は同値である。

(1) X は完全不連結(>>245)である。

(2) X は０次元(>>252)である。

(3) X は完全分離(>>250)である。

(4) X は準連接空間(>>499)である。

証明
(1) ⇔ (2) ⇔ (3)
>>439で証明済み。

(2) ⇒ (3)
KΩ を X の準コンパクト(過去スレ006の104)な開集合全体とする。
W を X の任意の空でない開集合とする。
x を W の任意の点とする。
X は局所コンパクトであるから x の開近傍 U でその閉包 U~ がコンパクトであり、
U~ ⊂ W となるものがある。
X は０次元であるから x ∈ V ⊂ U となる開かつ閉な V がある。
V は U~ の閉集合であるからコンパクトである。
よって、V ∈ KΩ である。
よって、KΩ は X の位相の基底である。
U、V ∈ KΩ のとき、U ∩ V ∈ KΩ は明らかである。
よって、X は準連接空間である。

(3) ⇒ (2)
Hausdorff空間の準コンパクト部分集合は閉集合であることから明らかである。
証明終