命題
L を分配束(過去スレ021の322)とする。
L の任意の極大フィルター(>>96)は素フィルター(>>97)である。

証明
F を L の任意の極大フィルターとする。
a、b ∈ F、a∨b ∈ F、a ∈ L - F とする。
G = {x ∈ L；a∨x ∈ F} とおく。
b ∈ G だから G ≠ φ
x、y ∈ G なら a∨(x∧y) = (a∨x)∧(a∨y) ∈ F
よって、x∧y ∈ G
x ∈ G、x ≦ y なら a∨x ∈ F、a∨x ≦ a∨y
よって、a∨y ∈ F
よって、y ∈ G
以上から G はフィルターである。

x ∈ F なら x ≦ a∨x より、a∨x ∈ F
よって、x ∈ G
よって、F ⊂ G
F は極大フィルターだから F = G または G = L である。
a ∈ L - F だから a は G に含まれない。
よって、F = G である。
よって、b ∈ F である。
証明終