命題
X を局所コンパクト空間(過去スレ006の128)とする。
以下の条件は同値である。

(1) X は完全不連結(>>245)である。

(2) X は０次元(>>252)である。

(3) X は完全分離(>>250)である。

証明
(1) ⇒ (2)
x を X の任意の点とし V を x の任意の近傍とする。
X は局所コンパクトであるから
x ∈ W、W~ ⊂ V となる x の開近傍 W で W~ がコンパクトとなるものがある。
ここで、W~ は W の閉包である。
{x} は V の連結成分であるから>>277と>>273より {x} は x を含む W~ の開かつ閉な部分集合全体の
共通集合である。
よって、>>276より W~ の開かつ閉な部分集合 U_1、．．．、U_n があり、
x ∈ U = U_1∩．．．∩U_n ⊂ W ⊂ V となる。
U は W~ の閉集合であるから X の閉集合である。
U は W の開集合であるから X の開集合である。

(2) ⇒ (3)
X はHausdorff空間だから
任意の x、y ∈ X、x ≠ y に対して x ∈ U、y ∈ V、U ∩ V となる開集合 U、V がある。
X は０次元であるから x ∈ W ⊂ U となる開かつ閉な W がある。
このとき y ∈ X - W であるから X は完全分離(>>250)である。

(3) ⇒ (1)
>>269で証明されている。
証明終