補題
X をHausdorff空間とする。
X のコンパクト開集合全体 Φ は X 上の集合環(過去スレ007の189)である。

証明
(1) φ ∈ Φ である。

(2) U, V ∈ Φ なら U ∪ V はコンパクトであるから U ∪ V ∈ Φ

(3) U, V ∈ Φ とする。
U はコンパクトであるから閉集合である。
V は開集合であるから X - V は閉集合である。
よって、U - V = U ∩ (X - V) は閉集合である。
U - V ⊂ U で U はコンパクトだから U - V はコンパクトである。
他方、V は閉集合だから U - V = U ∩ (X - V) は開集合である。
よって、U - V ∈ Φ
証明終