命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
任意の a ∈ A に対して D(a) (>>409) は Spec(A) の部分空間として
準コンパクト(過去スレ006の104)である。

証明
>>411の(4)より、D(b)、b ∈ A の形の集合全体は Spec(A) のZariski位相(>>414)の
開集合の基底である。

(a_λ)、λ ∈ Λ を A の元の族で D(a) ⊂ ∪{D(a_λ)；λ∈Λ} とする。
(a_λ)、λ ∈ Λ で生成される A のイデアルを I とする。
>>411より D(I) = ∪D(a_λ) である。
よって、D(a) ⊂ D(I)
よって、V(I) ⊂ V(a)
よって、IV(a) ⊂ IV(I) (>>415)
よって、>>419より、aA ⊂ I
a = a^2 ∈ aA ⊂ I
よって、Λ の有限部分集合 Γ があり J を (a_λ)、λ ∈ Γ で生成されるイデアルとしたとき
a ∈ J となる。
V(J) ⊂ V(a) であるから D(a) ⊂ D(J) = ∪{D(a_λ)；λ∈Γ}
よって、D(a) は準コンパクトである。
証明終