命題
A を一般Boole環(>>5)とする。
I と J を A のイデアルとする。
このとき>>409の記法の下で以下が成り立つ。

(1) V(IJ) = V(I)∪V(J)

(2) D(IJ) = D(I)∩D(J)

証明
(2) は (1)から明らかであるから (1) のみを証明すればよい。

IJ ⊂ I、IJ ⊂ J と>>410の(2)より V(I)∪V(J) ⊂ V(IJ)
他方、>>412より、V(IJ) ⊂ V(I)∪V(J)
証明終