命題
X をStone空間(>>248)とする。
X の開かつ閉な部分集合全体のなすBoole代数(過去スレ021の336)を S(X) とする。
このとき以下は同値である。

(1) S(X) は原子的(過去スレ021の342)である。

(2) X の孤立点(>>348)全体は稠密である。

証明
(1) ⇒ (2)
>>352より S(X) の任意の空でない元 E は A＾ の孤立点を含む。
>>281より X は０次元(>>252)であるから S(X) は X の開集合の基底である。
よって、X の孤立点全体は稠密である。

(2) ⇒ (1)
S(X) の任意の空でない元 E は開集合であるから X の孤立点を含む。
よって、>>352より S(X) は原子的である。
証明終